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Le "figure libere" (o artistiche)

Fra le tante configurazioni possibili del Cubo di Rubik e di molti dei puzzle a lui affini, ve ne sono parecchie oltre a quella di cubo risolto (tutte le facce di un unico colore) che all'occhio umano formano particolari disegni geometrici grazie alla contrapposizione su faccette adiacenti di colori diversi, in pratica vengono a crearsi quelle figure definite "libere" o "artistiche" (in inglese chiamate "patterns" ovvero trame), spesso solo semplici gioci di simmetria dei colori e a volte situazioni ben più complicate. Queste figure rappresentano un secondo aspetto ludico dei puzzle che va oltre la risoluzione, in quanto ci si diverte a crearle o a ricercare il modo di creale per puro senso artistico, ossia perché sono belle a vedersi. E' un modo per rendere il cubo meno matematico e più decorativo, anche se in realtà le particolari combinazioni sono sempre frutto di situazioni e manipolazioni matematiche.

Le figure libere sono parecchie, molte sono varianti o combinazioni di altre, ed in abito internet si trovano gli algoritmi necessari per molte di esse, tra quelle più note e comuni e quelle più particolari e perfino meno evidenti. Non è mia intenzione riportare qua tutti gli algoritmi delle figure artistiche ma solo alcune, ovvero quelle a mio parere più belle e appariscenti, cercando di vedere come realizzarle oltre che sul cubo 3x3x3 anche su quelli 4x4x4 e 5x5x5, perlomeno alcune. Per realizzarle basta applicare un algoritmo, semplice o complesso secondo i casi, partendo dalla configurazione di cubo risolto, con orientamento dello stesso a piacere. Una particolarità di questi algoritmi è che sono tutti ciclici con ciclicità pari generalmente a 2 o 3 (a volte 4), ossia rieseguendoli senza variare l'orientamento del cubo, 1 o 2 volte è possibile tornare alla situazione di partenza senza dover risolvere tutto il cubo, operazione che si rende comunque necessaria nel caso commettiamo qualche errore. A volte vedremo che la stessa figura può essere ottenuta anche applicando più di un algoritmo, ossia da algoritmi diversi.

Come specificato meglio in apposite trattazioni delle figure libere del Cubo di Rubik, non è sempre possibile creare un algoritmo che realizzi sul cubo una figura che noi creiamo nella nostra mente: vi sono infatti figure completamente impossibili a causa della disposizione dei colori e dei movimenti "naturali" delle facce del cubo e vi sono figure possibili che non rientrano fra quelle realizzabili con i suddetti movimenti, ovvero che seppur realizzabili secondo lo schema dei colori non rientrando fra le oltre 43 miliardi di miliardi di configurazioni possibili e si potrebbero realizzare solo smontando il cubo per rimontarne i pezzi nella configurazione voluta. Si possono comunque avere figure combinando e sommando effetti idi altre figure, magari più semplici, o semplicemente apportando delle varianti a figure note.

In ambito internet si trovano diverse raccolte di algoritmi per realizzare le figure libere. Un sito interessante (con animazioni) anche perchè ne propone diverse per i cubi superiori al 3x3x3 è http://www.randelshofer.ch/rubik/patterns.html.

*

Tutti gli algoritmi delle figure artistiche vanno eseguiti partendo dal cubo in situazione di "cubo risolto" ovvero con le facce di un solo colore. Per dare una uniformità alle immagini qua riportate si partirà sempre con il cubo (o i cubi) in questa posizione: bianco sulla faccia superiore, rosso sulla faccia frontale, blu sulla faccia destra, le altre di conseguenza (combinazione di colori BOY). Ovviamente ciascuno partirà con la combinazione di colori che preferisce.

Partiamo così (combinazione colori BOY)

Partiamo così (combinazione colori BOY)

I cubi usati per gli esempi sono il Shengshou 3x3x3 Wind nero, il Shengshou 3x3x3 Aurora bianco, il Shengshou 4x4x4 v. IV nero, il Shengshou 5x5x5 nero.

La Scacchiera

Sicuramente la figura che ognuno di noi scopre da solo appena ha in mano un cubo, basta infatti ruotare ogni faccia (strato esterno) di 180° a coppie di due. Si realizza così una scacchiera su tutte le 6 facce, ovvero su ogni faccia si scambiano i quattro spigoli con quelli della faccia opposta. L'algoritmo per il cubo 3x3x3 potrebbe essere quindi:

U2 D2 R2 L2 F2 B2 scacchiera su 6 facce

(oppure altri analoghi a patto di ruotare sempre ogni faccia assieme alla sua opposta). Su ogni faccia vederemo sia il colore della faccia stessa (quello del centro) che i colori di quella opposta. Otterremmo cioè qualcosa come la figura seguente:

La scacchiera su 6 facce sul cubo 3x3x3

La scacchiera su 6 facce sul cubo 3x3x3

L'algoritmo ha ciclicità = 2 ovvero ripetendolo si torna alla configurazione iniziale. Questa è solo una delle possibili varianti della scacchiera, la più semplice. Lo stesso algoritmo (o procedura) applicato al cubo 4x4x4 realizza una bella figura che proprio scacchiera non è (si tratta sempre di ruotare di 180° solo le facce esterne a coppie). Sul cubo 5x5x5 possiamo invece avere figure diverse a seconda che ruotiamo solo le facce esterne, solo gli strati più interni (quelli a metà cubo) o tutti gli strati alternativamente uno sì e uno no (scacchiera completa).

LA SCACCHIERA SUI CUBI 4x4x4 E 5x5x5
La scacchiera sul 4x4x4, ruoto le facce esterne di 180° a coppie
Effetto sul 5x5x5 se ruoto solo le facce esterne di 180° a coppie
Effetto sul 4x4x4 se ruoto le facce esterne di 180° a coppie
ovvero U2 D2 R2 L2 F2 B2
Effetto sul 5x5x5 se ruoto solo le facce esterne di 180° a coppie
ovvero U2 D2 R2 L2 F2 B2
Effetto sul 5x5x5 se ruoto solo gli strati mediani di 180° a coppie Effetto sul 5x5x5 se ruoto sia le facce esterne che gli strati mediani di 180° a coppie
Effetto sul 5x5x5 se ruoto solo gli strati mediani di 180° a coppie,
ovvero se ruoto ogni coppia di strati interni assieme a quelli
interni adiacenti ovvero (Uu)2 (Dd)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ll)2
Effetto sul 5x5x5 se ruoto sia le facce esterne che
gli strati mediani di 180° a coppie, senza ruotare gli strati
intermedi ovvero (Uu)2 (Dd)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ll)2
seguito da U2 D2 R2 L2 F2 B2

Con cubi di ordine superiore potremo creare combinazioni ancora più varie (ad esempio su un 6x6x6 possiamo ricreare la scacchiera del 3x3x3 dove al posto di una faccetta colorata ve ne sono 4 uguali, ruotando due facce adiacenti al posto di una).

La scacchiera può essere realizzata anche solo su due o quattro facce del cubo. Cominciamo con il dare un algoritmo semplicissimo che permette di scambiare solo due spigoli sulle posizioni FU e RU con gli opposti in FD e RD, l'algoritmo semplicissimo, sempre con ciclicità = 2, è:

[ F2 R2 ] 3volte di seguito scambio di 2 spigoli

L'effetto è il seguente (ovviamente sul cubo 4x4x4 scambierà due coppie di spigoli e sul 5x5x5 due terzetti di spigoli):

Scambio di due spigoli coi loro opposti sul cubo 3x3x3

Scambio di due spigoli coi loro opposti sul cubo 3x3x3

Eseguendolo il numero opportuno di volte su più facce questo algoritmo ci consente di creare la scacchiera su due sole facce, quattro facce oppure 6 facce (ma in questo caso è più veloce il già menzionato U2 D2 R2 L2 F2 B2). Possiamo quindi scrivere:

[ F2 D2 R2 L2 ] 3 volte scacchiera su due facce (U e D)

e l'effetto è il seguente sui cubi 3x3x3, 4x4x4, 5x5x5

LA SCACCHIERA SU DUE FACCE SUI CUBI 3x3x3, 4x4x4 E 5x5x5
Effetto sul 3x3x3 di [ F2 D2 R2 L2 ] 3 volte Effetto sul 4x4x4 e 5x5x5 di [ F2 D2 R2 L2 ] 3 volte
Effetto sul 3x3x3 di [ F2 D2 R2 L2 ] 3 volte Effetto sul 4x4x4 e 5x5x5 di [ F2 D2 R2 L2 ] 3 volte

Mentre per avere una scacchiera su 4 facce potremmo scrivere qualcosa come:

[ F2 D2 R2 L2 ] 3 volte [ R2 U2 L2 D2] 3volte scacchiera su 4 facce (F, B, R, L)

L'effetto sui cubi 3x3x3 e 4x4x4 è il seguente (lascio a voi sperimentare su altri cubi):

Scacchiera su 4 facce sui cubi 3x3x3 e 4x4x4

Scacchiera su 4 facce sui cubi 3x3x3 e 4x4x4

Lo scambio dei centri

E' un'altra figura molto facile da fare e da ricordare, consiste nello scambiare apparentemente i centri da una faccia all'altra del cubo (in realtà sono tutti gli elementi attorno ai centri che si spostano). Anche per questa esistono possibili varianti soprattutto sui cubi di ordine superiore a tre. In pratica si tratta di ruotare di 90° coppie opposte di facce seguendo un ordine che di snoda attorno al cubo. Un algoritmo possibile sul cubo 3x3x3x è:

 R L' F B' U D' R L' scambio di 6 centri (a gruppi di 3)

col quale si ottiene la seguente figura:

Lo scambio di 6 centri sul cubo 3x3x3

Lo scambio di 6 centri sul cubo 3x3x3

Poiché questo algoritmo lavora su tre facce contigue ha ciclicità = 3 ossia riporta alla condizione di partenza se ripetuto tre volte (alla seconda ripetizione noteremo che gli elementi si sono traslati ancora da una faccia a quella adiacente variando la combinazione dei colori). Come nel caso precedente la figura sul cubo 4x4x4 non si presta a variazioni, anzi resta molto simile, mentre nel cubo 5x5x5 può essere interpretata in tre modi diversi:

LO SCAMBIO DEI CENTRI SUI CUBI 4x4x4 E 5x5x5
Effetto sul 4x4x4 applicando l'algoritmo
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo
Effetto sul 4x4x4 applicando l'algoritmo alle facce esterne
 R L' F B' U D' R L'
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce esterne
 R L' F B' U D' R L'
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce esterne contemporaneamente anche a quelle adiacenti
Se sommiamo i due effetti
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce
esterne e contemporaneamente anche a quelle adiacenti
ovvero (Rr) (Ll)' (Ff) (Bb)' (Uu) (Dd)' (Rr) (Ll)'
Se sul cubo 5x5x5 sommiamo i due effetti precedenti, applicando
 i due algoritmi da interno a esterno ovvero
(Rr) (Ll)' (Ff) (Bb)' (Uu) (Dd)' (Rr) (Ll)'
seguito da R L' F B' U D' R L', otteniamo questa figura,

L'ultima figura si ottiene volendo anche su cubi di ordine dispari maggiore lavorando sempre allo stesso modo ovvero applicando l'algoritmo in modo da non toccare lo strato centrale la prima volta (cioè ruotando tutti gli strati esterni ad esso), poi i tre strati centrali la seconda volta ecc. In questo modo si lavora muovendo solo gli elementi al di fuori degli strati centrali tenuti fissi, zona che ogni volta si amplia. Per tornare alla condizione iniziale dovremo ragionare all'inverso ossia eseguire 2 volte la manovra prima solo sugli strati esterni (ossia 2 volte R L' F B' U D' R L'), poi interessando anche gli strati interni (ossia due volte (Rr) (Ll)' (Ff) (Bb)' (Uu) (Dd)' (Rr) (Ll)'  ). Se eseguissimo i due algoritmi in ordine opposto non otterremmo la figura perché il secondo algoritmo lavorerebbe anche sui pezzi già spostati dal primo.

Lo scambio di centri è possibile anche a coppie opposte (ossia si scambiano due centri coi loro opposti mentre due facce del cubo restano inalterate). Un algoritmo, con ciclicità = 2, che realizza questa figura è il seguente:

R2 L2 U D' F2 B" U D' scambio di 4 centri (sulle facce R, L, F, B)

L'effetto sul cubo 3x3x3 e 4x4x4 è il seguente:

Scambio di 4 centri sui cubi 3x3x3 e 4x4x4

Scambio di 4 centri sui cubi 3x3x3 e 4x4x4

A questo punto ci si potrebbe chiedere se esista un algoritmo che permetta di scambiare due soli centri (in modo analogo a quanto accadeva con la scacchiera) ma la risposta è negativa nel senso che NON esiste un algoritmo che permetta di scambiare due soli centri lasciando invariate le altre 4 facce, è una "configurazione impossibile" per la meccanica del cubo. Esiste però un algoritmo, molto semplice e con ciclicità = 2, che permette di scambiare due centri creando contemporaneamente su due facce una striscia del colore della faccia opposta, ossia:

F2 R2 L2 B2 scambio di 2 centri e della linea mediana verticale del cubo

Ed ecco l'effetto sul cubo 3x3x3:

Scambio di due centri e linea mediana sul cubo 3x3x3

Scambio di due centri e linea mediana sul cubo 3x3x3

Anche qua non abbiamo effetti particolari sul cubo 4x4x4 ma con il 5x5x5 possiamo ragionare per strati interni ed esterni come nel caso precedente, ovvero:

LO SCAMBIO DI 2 CENTRI E LINEA MEDIANA SUI CUBI 4x4x4 E 5x5x5
Effetto sul 4x4x4 applicando l'algoritmo alle facce esterne
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce esterne
Effetto sul 4x4x4 applicando l'algoritmo alle facce esterne
F2 R2 L2 B2
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce esterne
F2 R2 L2 B2
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce esterne e contemporaneamente a quelle adiacenti
Se sul cubo 5x5x5 sommiamo i due effetti precedenti
Effetto sul 5x5x5 applicando l'algoritmo alle facce
esterne e contemporaneamente anche a quelle adiacenti
ovvero (Ff)2 (Rr)2 (Ll)2 (Bb)2
Se sul cubo 5x5x5 sommiamo i due effetti precedenti, applicando
 i due algoritmi da interno a esterno ovvero
 (Ff)2 (Rr)2 (Ll)2 (Bb)2
seguito da F2 R2 L2 B2, otteniamo questa figura,

I cubi incastrati

Sicuramente fra le figure più belle, perlomeno a mio parere, vi sono quelle che creano l'illusione di una serie di cubi di diverse dimensioni incastrati l'uno nell'altro. Tale effetto si ottiene con appositi algoritmi che in realtà fanno scorrere e ruotare intere serie di elementi (spigoli e vertici) lungo gli spigoli del cubo senza separarli fra loro o ruotandone altri (soli vertici), in modo che l'osservatore abbia l'illusione che una porzione interna del cubo sia stata estratta, ruotata e reinserita nel cubo stesso. Questi algoritmi hanno ciclicità uguale = 3, ovvero ripetuti tre volte riportano il cubo alla condizione iniziale e scambiano i colori di una faccia con quelli di una adiacente e di quella consecutiva, su un gruppo di tre facce. Con il cubo posizionato come nella nostra figura iniziale (F = rosso, U = bianco, R = blu) agiscono sui colori rosso-bianco-blu.

Vediamo ora alcuni algoritmi, un poco più complessi che non quelli per le altre figure libere sinora viste. Poiché è facile confondersi, per queste figure e per altre ancora più complesse, è preferibile cimentarsi quando si è capaci di risistemare i vari cubi almeno con il metodo a strati, in caso di errori.

DOPPIO CUBO: è quello più conosciuto e consente di creare un cubo 2x2x2 all'interno di un cubo 3x3x3, facendo scorrere tutta una serie di elementi esterni. L'algoritmo è il seguente:

F' R U2 R' U' B U2 B' U F B L' D2 L D F' D2 F D' B' doppio cubo

Nella foto successiva vediamo l'effetto di questo algoritmo sul cubo 3x3x3, eseguito una volta (sul cubo nero) e due volte (sul cubo bianco). Eseguendolo una volta i colori scorrono di una "posizione", eseguendolo due volte i colori scorrono di due "posizioni", eseguendolo tre volte come detto si torna alla situazione di partenza (tre "posizioni"). Non è detto che qualcuno non preferisca riordinare il cubo con qualche metodo di risoluzione anziché ripetere l'algoritmo del doppio cubo una o due volte.

Il doppio cubo sul cubo 3x3x3

Il doppio cubo sul cubo 3x3x3

Nella foto vediamo solo tre facce del cubo (rosso-bianco-blu) ove i colori si sono scambiati fra loro. In effetti lo stesso accade sulle altre facce (giallo-arancio-verde) per cui l'algoritmo in realtà crea due doppi cubi sui due lati opposti del cubo.

Naturalmente sui cubi di ordine superiore a tre possiamo sfruttare la presenza degli strati interni, L'algoritmo in questo caso diventa:

(Ff)' (Rr) (Uu)2 (Rr)' (Uu)' (Bb) (Uu)2 (Bb)' (Uu) (Ff) (Bb) (Ll)' (Dd)2 (Ll) (Dd) (Ff)' (Dd)2 (Ff) (Dd)' (Bb)' doppio cubo (facce int/est)

Vediamo ad esempio l'effetto sul cubo 4x4x4.

IL DOPPIO CUBO SUL CUBO 4x4x4
Se applichiamo l'algoritmo alle sole facce esterne Se applichiamo l'algoritmo alle facce esterne e a quelle interne adiacenti
Se applichiamo l'algoritmo alle sole facce esterne otteniamo
questa figura. L'algoritmo è sempre
F' R U2 R' U' B U2 B' U F
B L' D2 L D F' D2 F D' B'
Se applichiamo l'algoritmo alle facce esterne e a quelle interne
adiacenti otteniamo questa figura. L'algoritmo diventa
(Ff)' (Rr) (Uu)2 (Rr)' (Uu)' (Bb) (Uu)2 (Bb)' (Uu) (Ff)
 (Bb) (Ll)' (Dd)2 (Ll) (Dd) (Ff)' (Dd)2 (Ff) (Dd)' (Bb)'

Ricaviamo quindi nel primo caso un cubo 3x3x3 all'interno del cubo 4x4x4, nel secondo un cubo 2x2x2 all'interno del cubo 4x4x4. In effetti la cosa suggerisce che possiamo applicare anche l'algoritmo ad un cubo 2x2x2, anche se l'effetto non è molto evidente, e che per riordinare il cubo 4x4x4 nel secondo caso, oltre a ripetere la manovra altre due volte, possiamo procedere con la risoluzione del cubo 2x2x2 lavorando sempre su ogni faccia assieme a quella interna adiacente (metodo forse più rapido).

Possiamo fare lo stesso nel cubo 5x5x5 come vedremo successivamente.

CUBETTO NEL CUBO: è una figura semplice, in pratica si tratta di fare ruotare in senso antiorario di uno o due scatti attorno all'asse diagonale, i cubi vertici posti in UFR e BDL. La manovra è la seguente:

L2 F' U B' U' L' B' L F L' B L U B U' L2 cubetto nel cubo

Vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3:

Il cubetto nel cubo

Il cubetto nel cubo

Anche in questo caso l'algoritmo è stato applicato una volta per il cubo nero e due volte per il cubo bianco. Non visibile in foto il cubetto (vertice giallo-verde-arancio) che ha ruotato sul lato opposto del cubo. Nulla vieta di creare un algoritmo simmetrico che ruota i vertici in senso orario invece che antiorario.

Possiamo ovviamente applicare l'algoritmo anche sui cubi di ordine maggiore di tre e, volendo, ruotando ogni faccia assieme a quella interna adiacente (sul cubo 4x4x4 però l'effetto non è dissimile da quello del "doppio cubo") e sul cubo 2x2x2 dove gli effetti di "doppio cubo" e "cubetto nel cubo" in pratica si equivalgono. Lavorando anche sulle facce (strati) interne, l'algoritmo diventa:

(Ll)2 (Ff)' (Uu) (Bb)' (Uu)' (Ll)' (Bb)' (Ll) (Ff) (Ll)' (Bb) (Ll) (Uu) (Bb) (Uu)' (Ll)2 cubetto nel cubo (facce int/est)

CUBI INCASTRATI: queste figure, forse più interessanti, si ottengono combinando i due algoritmi precedenti. Sul cubo 3x3x3 l'effetto è di tre cubi incastrati:

Cubi incastrati sul cubo 3x3x3

Cubi incastrati sul cubo 3x3x3

Nella figura sopra è stato eseguito per il cubo nero, una volta il "doppio cubo" e una volta il "cubetto nel cubo", per il cubo bianco invece è stato eseguito due volte il "doppio cubo" e due volte il "cubetto nel cubo". Eseguendo invece un algoritmo solo una volta e l'altro due volte possiamo avere tutti i tre colori su ciascuna faccia. Non ha importanza l'ordine con cui si eseguono i due algoritmi, basta non fare confusione con le mosse.

Cubi incastrati sul cubo 3x3, altre combinazioni

Cubi incastrati sul cubo 3x3, altre combinazioni

Nella foto sopra vediamo il cubo nero dove è stato eseguito due volte il "doppio cubo" e una volta il "cubetto nel cubo", mentre per il cubo bianco è stato eseguito una volta il "doppio cubo" e due volte il "cubetto nel cubo". Sul cubo 3x3x3 non abbiamo altre combinazioni (a parte scegliere altri colori come situazione di partenza), mentre sul cubo 4x4x4 possiamo creare le stesse combinazioni lavorando solo sulle facce esterne (ovviamente il "cubo intermedio" sarà largo due quadretti anziché uno).

Il cubo 5x5x5 invece si presta alla costruzione di figure più interessanti, lavorando con anche gli strati interni ovvero con gli strati interni ed esterni assieme prima e con solo quelli quelli esterni dopo. Vediamo qua un esempio, interessante a patto di non sbagliare nessuna mossa.

CUBI INCASTRATI SUL CUBO 5x5x5
Cominciamo a costruire un doppio cubo Poi ripetiamo la manovra solo sulle facce esterne
Cominciamo a costruire un doppio cubo lavorando anche
sulle facce interne. L'algoritmo è:
(Ff)' (Rr) (Uu)2 (Rr)' (Uu)' (Bb) (Uu)2 (Bb)' (Uu) (Ff)
 (Bb) (Ll)' (Dd)2 (Ll) (Dd) (Ff)' (Dd)2 (Ff) (Dd)' (Bb)'
Poi ripetiamo la manovra solo sulle facce esterne. L'algoritmo è
F' R U2 R' U' B U2 B' U F B L' D2 L D F' D2 F D' B'
Poi creiamo il "cubetto nel cubo" lavorando anche sulle facce interne Applicando infine il "cubetto nel cubo" alle sole facce esterne
Poi creiamo il "cubetto nel cubo" lavorando anche sulle
facce interne. L'algoritmo è
(Ll)2 (Ff)' (Uu) (Bb)' (Uu)' (Ll)' (Bb)' (Ll)
(Ff) (Ll)' (Bb) (Ll) (Uu) (Bb) (Uu)' (Ll)2
Applicando infine il "cubetto nel cubo" alle sole facce esterne, se
non abbiamo commesso errori otteniamo questa figura.
L'algoritmo è
L2 F' U B' U' L' B' L F L' B L U B U' L2

Possiamo creare diverse combinazioni di colori eseguendo gli algoritmi una o due volte. Notare che eseguendo prima l'algoritmo sulle facce int/est e poi solo su quelle esterne in pratica gli elementi esterni si spostano/ruotando due volte. Queste figure possono con lo stesso metodo crearsi anche per cubi di ordine superiore a 5 (meglio dispari: 7, 9, 11, ecc. non ancora in commercio) sempre ovviamente senza commettere errori, con la tecnica di partire lavorando anche sulle facce interne e poi  di nuovo su quelle più esterne sino ad arrivare alle sole esterne.

Strisce e fregi vari

Queste figure sono molto semplici, sia come algoritmi che come disegni e spesso qualcuno le ottiene facendo movimenti quasi casuali. Anche in questo caso le figure possono essere combinate in vari modi e anche qua ne presenteremo alcune con le varianti sui cubi di ordine maggiore di tre, anche se in realtà è sul cubo 5x5x5 che possiamo variare maggiormente i disegni.  Possiamo comunque combinarle in vari modi, la ciclicità è sempre = 2.

STRISCE SU QUATTRO FACCE: figure molto semplici da ottenere, con facili algoritmi di ciclicità = 2. Un primo algoritmo è il seguente:

[R2 U2 L2] 2 volte quattro strisce prima versione

Vediamo l'effetto sui cubi:

Le quattro strisce sul cubo 3x3x3

Le quattro strisce sul cubo 3x3x3 (prima versione)

Volendo ottenere le strisce sulle facce verticali, lasciando invariate la faccia superiore e inferiore, basta trasformare l'algoritmo in [R2 F2 L2] 2 volte. Applichiamo lo stesso algoritmo solo sulle facce esterne dei cubi 4x4x4 e 5x5x5 e otteniamo:

Strisce su quattro facce sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Strisce su quattro facce sui cubi 4x4x4 e 5x5x5 (prima versione)

Ormai sappiamo che sul cubo 5x5x5 possiamo lavorare anche sugli strati (facce) interni muovendoli assieme a quelli esterni adiacenti, per poi agire solo sulle facce esterne (sul cubo 4x4x4 l'effetto non è molto significativo).

Strisce su quattro facce -varianti sul cubo 5x5x5 (prima versione)
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
ottengo questa figura. L'algoritmo diventa:
[(Rr)2 (Uu)2 (Ll)2] 2 volte
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
 ottengo questa figura. L'algoritmo é:
[R2 U2 L2] 2 volte

Per annullare l'effetto dovremo prima ripetere l'algoritmo solo sulle facce esterne e poi ripeterlo su facce esterne ed interne adiacenti (ovvero procedere in modo inverso).

Un secondo algoritmo è il seguente:

L2 U2 R2 L2 U2 L2 quattro strisce seconda versione

L'effetto sul cubo 3x3x3 è il seguente:

Strisce su quattro facce sul cubo 3x3x3

Strisce su quattro facce sul cubo 3x3x3 (seconda versione)

Mentre sui cubi 4x4x4 e 5x5x5, lavorando solo sulle facce esterne:

Strisce su quattro facce sui cubi 4x4x4 e 5x5x5 (seconda versione)

Strisce su quattro facce sui cubi 4x4x4 e 5x5x5 (seconda versione)

Anche qua possiamo ripetere il solito "giochetto" sul cubo 5x5x5, ottenendo:

Strisce su quattro facce -varianti sul cubo 5x5x5 (seconda versione)
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
ottengo questa figura. L'algoritmo diventa:
(Ll)2 (Uu)2 (Rr)2 (Ll)2 (Uu)2 (Ll)2
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
 ottengo questa figura. L'algoritmo é:
L2 U2 R2 L2 U2 L2

DIAGONALI: altra figura molto semplice che consiste nel creare diagonali su quattro facce del cubo. L'algoritmo è:

[F B R L] 3 volte quattro diagonali

L'effetto sul cubo 3x3x3 è il seguente:

Quattro diagonali sul cubo 3x3x3

Quattro diagonali sul cubo 3x3x3

Mentre sui cubi 4x4x4 e 5x5x5, lavorando solo sulle facce esterne:

Quattro diagonali sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Quattro diagonali sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Anche qua possiamo ripetere il solito "giochetto" sul cubo 5x5x5, ottenendo:

Quattro diagonali - varianti sul cubo 5x5x5
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
ottengo questa figura. L'algoritmo diventa:
[(Ff) (Bb) (Rr) (Ll)] 3 volte
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
 ottengo questa figura. L'algoritmo é:
[F B R L] 3 volte

Sul cubo 5x5x5, possiamo anche creare una simpatica combinazione sovrapponendo l'effetto delle quattro diagonali (lavorando sulle sole facce esterne) allo scambio di quattro centri (lavorando su facce esterne ed interne adiacenti) ovvero eseguendo:

 [F B R L] 3 volte e poi (Rr) (Ll)' (Ff) (Bb)' (Uu) (Dd)' (Rr) (Ll)'

ottenendo l'effetto della foto successiva (ovviamente i due algoritmi possono anche essere eseguiti in ordine inverso):

Scambio di quattro centri più quattro diagonali sul cubo 5x5x5

Scambio di quattro centri più quattro diagonali sul cubo 5x5x5

FREGIO VERTICALE: questa figura molto semplice consiste in una decorazione sulle facce laterali del cubo che si sviluppa essenzialmente in senso verticale. Essa non è altro che una variante della precedete infatti, aggiungendo all'algoritmo della figura precedente le mosse U2 B2, otteniamo il seguente algoritmo, sempre con ciclicità =2:

[F B R L]  3volte U2 B2 fregio verticale

L'effetto sul cubo 3x3x3 è il seguente:

Fregio verticale sul cubo 3x3x3

Fregio verticale sul cubo 3x3x3

La stessa figura sui cubi 4x4x4 e 5x5x5x (ovvero lavorando solo sulle facce esterne) diviene:

Fregio verticale sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Fregio verticale sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Sui cubi di ordine maggiore di 3 posso applicare l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti. L'algoritmo diventa

[(Ff) (Bb) (Rr) (Ll)]  3volte (Uu)2 (Bb)2 fregio verticale versione facce est/int

L'effetto sul cubo 5x5x5 è il seguente:

Fregio verticale lavorando su facce esterne ed interne adiacenti sul cubo 5x5x5

Fregio verticale lavorando su facce esterne ed interne adiacenti sul cubo 5x5x5

Anche qua l'effetto è migliore sul cubo 5x5x5 che non sul cubo 4x4x4 e possiamo inventarci parecchie combinazioni. Se su questa figura applichiamo nuovamente l'algoritmo alle sole facce esterne non otteniamo figure particolari.

Figure "serpeggianti"

Si tratta di due figure molto simpatiche ideate già negli anni 80 da Richard Walker, vengono create con algoritmi abbastanza lunghi (e quindi eseguendoli con scarsa attenzione, si corre il rischio di sbagliare costringendoci a risolvere il cubo per riprovare), e creano l'effetto di una striscia di colori vari che attraversa tutte le facce del cubo arrotolandosi e "serpeggiando" su esse (da qui i nomi). E' possibile trovare varianti di queste figure sia come effetto, algoritmi e anche nel modo in cui vengono chiamate. In realtà sono principalmente due.

IL SERPENTE: si crea con un algoritmo che ha ciclicità = 2. L'algoritmo è il seguente:

B R L' D' R2 D L R' B' R2 U B2 U' D R2 D' serpente

Vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3 (nella foto il cubo bianco è ruotato rispetto al nero per evidenziare meglio lo sviluppo del serpente sulle varie facce):

Il "serpente" sul cubo 3x3x3

Il "serpente" sul cubo 3x3x3

Sui cubi 4x4x4 e 5x5x5 possiamo applicare l'algoritmo alle sole facce esterne ottenendo questo risultato, forse un po' meno bello dal punto di vista estetico:

Il "serpente" sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Il "serpente" sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Possiamo anche applicare l'algoritmo, come al solito, sulle facce esterne e interne adiacenti contemporaneamente. L'algoritmo diventa:

(Bb) (Rr) (Ll)' (Dd)' (Rr)2 (Dd) (Ll) (Rr)' (Bb)' (Rr)2 (Uu) (Bb)2 (Uu)' (Dd) (Rr)2 (Dd)' serpente versione facce int/est

ottenendo, sul cubo 5x5x5, questo effetto:

Il "serpente" sul cubo 5x5x5 facce int/est

Il "serpente" sul cubo 5x5x5 facce int/est

A questo punto si potrebbe provare a ripetere l'algoritmo solo sulle facce esterne, come già fatto con altre figure, per aumentare il numero di "serpenti" sul cubo. In realtà, non avendo la figura una sua simmetria, se su alcune facce si moltiplica l'effetto, su altre i pezzi si mescolano e non riusciamo ad ottenere la figura desiderata (non riporto la foto del risultato per brevità).

IL LOMBRICO: si crea con un algoritmo che ha ciclicità = 3. L'algoritmo è il seguente:

R U F2 D' R L' F B' D' F' R' F2 R U2 F R2 F' R' U' F' U2 F R lombrico

Vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3 (nella foto il cubo bianco è ruotato rispetto al nero per evidenziare meglio lo sviluppo del lombrico sulle varie facce):

Il "lombrico" sul cubo 3x3x3

Il "lombrico" sul cubo 3x3x3

poiché l'algoritmo ha ciclicità = 3 eseguendolo una seconda volta si mescolano i colori in un altro modo:

Il "lombrico" sul cubo 3x3x3 eseguendo l'algoritmo due volte

Il "lombrico" sul cubo 3x3x3 eseguendo l'algoritmo due volte

Eseguendo l'algoritmo una terza volta avremo di nuovo il cubo riordinato. Sui cubi 4x4x4 e 5x5x5 lavorando solo sulle facce esterne otterremo le seguenti figure:

Il "lombrico" sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Il "lombrico" sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Anche qua possiamo lavorare sulle facce esterne ed interne adiacenti, l'algoritmo diventa:

(Rr) (Uu) (Ff)2 (Dd)' (Rr) (Ll)' (Ff) (Bb)' (Dd)' (Ff)' (Rr)' (Ff)2 (Rr) (Uu)2 (Ff) (Rr)2 (Ff)' (Rr)' (Uu)' (Ff)' (Uu)2 (Ff) (Rr) lombrico versione facce int/est

Vediamo l'effetto sul cubo 5x5x5:

Il "lombrico" sul cubo 5x5x5 versione facce int/est

Il "lombrico" sul cubo 5x5x5 versione facce int/est

Anche in questo caso, come per il serpente, se eseguiamo poi l'algoritmo solo sulle facce esterne non otteniamo un moltiplicarsi della figura ma un effetto multiplo solo su alcune facce mentre su altre gli elementi colorati si mescolano.

Le croci

Un altro gruppo di figure che si possono realizzare sui cubi è costituito da una serie di croci su alcune facce, in modo simile alle "croci" ottenute dai vari tipi di scacchiera. Vediamone alcune.

QUATTRO CROCI PRIMA VERSIONE: questa figura consiste nel creare quattro croci sulle facce laterali del cubi, scambiando ogni elemento vertice con quello diametralmente opposto sulle facce superiore ed inferiore senza modificare l'orientamento dell'elemento stesso. Sulle facce laterali vederemo negli angoli i colori delle facce opposte. L'algoritmo ha ciclicità = 2 ed è il seguente:

F2 B2 R2 L2 U2 F2 B2 R2 L2 D2 quattro croci prima versione

vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3:

Quattro croci prima versione sul cubo 3x3x3

Quattro croci prima versione sul cubo 3x3x3

Mentre sui cubi 4x4x4 e 5x5x5 l'effetto è il seguente:

Quattro croci prima versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Quattro croci prima versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Possiamo come sempre applicare l'algoritmo a facce esterne ed interne adiacenti, ottenendo:

(Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ll)2 (Uu)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ll)2 (Dd)2 quattro croci prima versione, versione int/est

Sul cubo 5x5x5 l'effetto sarà il seguente:

Quattro croci prima versione - varianti sul cubo 5x5x5
Quattro croci prima versione, vers. facce int/est, sul cubo 5x5x5 Quattro croci prima versione applicando prima l'algoritmo su facce inte/est e poi solo su quelle esterne
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
ottengo questa figura. L'algoritmo diventa:
(Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ll)2 (Uu)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ll)2 (Dd)2
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
 ottengo questa figura. L'algoritmo é:
F2 B2 R2 L2 U2 F2 B2 R2 L2 D2

Nota: le quattro croci prima versione possono essere ottenute anche con il seguente algoritmo: D F2 R2 F2 D' U R2 F2 R2 U' (ciclicità =2). Costituiscono inoltre un caso particolare delle "quattro croci seconda versione" illustrate al paragrafo seguente.

QUATTRO CROCI SECONDA VERSIONE:
simile alla precedente, si realizza scambiando ogni vertice con quello a fianco in senso orario, senza variarne l'orientamento. Effettuato una volta, vedremo su ogni faccia laterale negli angoli il colore della faccia adiacente, effettuato due volte vedremo (ome nel caso precedente) i colori della faccia opposta, ecc. Effettuato quattro volte torneremo alla configurazione di partenza (ciclicità = 4). L'algoritmo è il seguente:

U R2 F2 B2 R2 F2 B2 U' R2 F2 B2 R2 F2 B2 quattro croci seconda versione

Vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3:

Quattro croci seconda versione sul cubo 3x3x3

Quattro croci seconda versione sul cubo 3x3x3

Nell'immagine sopra l'algoritmo è stato eseguito una volta per il cubo nero, a sinistra, e due volte per quello bianco, a destra (in pratica effettuandolo due volte si ottiene la versione della figura vista in precedenza). Vediamo ora l'effetto sui cubi 4x4x4 e 5x5x5:

Quattro croci seconda versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Quattro croci seconda versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Nella foto sopra l'algoritmo è stato eseguito una sola volta su entrambi i cubi. Per i cubi di ordine maggiore di tre, possiamo anche qua applicare l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti. L'algoritmo diventa:

(Uu) (Rr)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ff)2 (Bb)2 (Uu)' (Rr)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rb)2 (Ff)2 (Bb)2 quattro croci seconda versione, vers. int/est

Sul cubo 5x5x5 l'effetto sarà il seguente:

Quattro croci seconda versione - varianti sul cubo 5x5x5
Quattro croci prima versione, vers. facce int/est, sul cubo 5x5x5 Quattro croci prima versione applicando prima l'algoritmo su facce inte/est e poi solo su quelle esterne
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
ottengo questa figura. L'algoritmo diventa:
(Uu) (Rr)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rr)2 (Ff)2 (Bb)2
(Uu)' (Rr)2 (Ff)2 (Bb)2 (Rb)2 (Ff)2 (Bb)2
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
 ottengo questa figura. L'algoritmo é:
U R2 F2 B2 R2 F2 B2 U' R2 F2 B2 R2 F2 B2

Come per altri algoritmi con ciclicità maggiore di due, scegliendo di eseguire una o due volte l'algoritmo solo sulle facce esterne o su interne ed esterne, possiamo creare diverse mescolanze di colori.

SEI CROCI PRIMA VERSIONE: questa figura si ottiene scambiando ogni cubo vertice della faccia superiore con il corrispettivo sulla verticale della faccia inferiore. Negli angoli di ogni faccia appare il colore di quella opposta. L'algoritmo ha ciclicità = 2 ed è il seguente:

U F B' L2 U2 L2 F' B U2 L2 U sei croci prima versione

Vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3:

Sei croci prima versione sul cubo 3x3x3

Sei croci prima versione sul cubo 3x3x3

Mentre l'effetto sui cubi 4x4x4 e 5x5x5, lavorando solo sulle facce esterne, sarà il seguente:

Sei croci prima versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Sei croci prima versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Per i cubi di ordine maggiore di tre, possiamo anche qua applicare l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti. L'algoritmo diventa:

(Uu) (Ff) (Bb)' (Ll)2 (Uu)2 (Ll)2 (Ff)' (Bb) (Uu)2 (Ll)2 (Uu) sei croci prima versione, vers. int/est
Sul cubo 5x5x5 l'effetto sarà il seguente:

Sei croci prima versione - varianti sul cubo 5x5x5
Sei croci prima versione, sul cubo 5x5x5, facce int/est Sei croci prima versione, applicando l'algoritmo su facce int/est e poi solo est
Se applico l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti
ottengo questa figura. L'algoritmo diventa:
(Uu) (Ff) (Bb)' (Ll)2 (Uu)2 (Ll)2 (Ff)' (Bb) (Uu)2 (Ll)2 (Uu)
Se poi applico l'algoritmo alle sole facce esterne
 ottengo questa figura. L'algoritmo é:
U F B' L2 U2 L2 F' B U2 L2 U

SEI CROCI SECONDA VERSIONE:questa figura si ottiene traslando i cubi vertici sulla faccia adiacente a gruppi di tre facce, negli angoli di ogni faccia compare il colore della faccia adiacente. L'algoritmo ha ciclicità = 3 ed è il seguente:

D' U2 B R2 U' B' D U' B F' U B L2 U' B2 F sei croci seconda versione

Vediamo l'effetto sul cubo 3x3x3:, sul cubo nero a sinistra l'algoritmo è stato eseguito una volta, sul cubo bianco a destra l'algoritmo è stato eseguito due volte:

Sei croci seconda versione sul cubo 3x3x3

Sei croci seconda versione sul cubo 3x3x3

Mentre l'effetto sui cubi 4x4x4 e 5x5x5, lavorando solo sulle facce esterne, sarà il seguente:

Sei croci seconda versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Sei croci seconda versione sui cubi 4x4x4 e 5x5x5

Per i cubi di ordine maggiore di tre, possiamo anche qua applicare l'algoritmo alle facce esterne ed interne adiacenti. L'algoritmo diventa:

(Dd)' (Uu)2 (Bb) (Rr)2 (Uu)' (Dd) (Uu)' (Bb) (Ff)' (Uu) (Bb) (Ll)2 (Uu)' (Bb)2 (Ff) sei croci seconda versione, vers. int/est

Sul cubo 5x5x5 l'effetto sarà il seguente:

Sei croci seconda versione sul cubo 5x5x5 lavorando su facce int/est

Sei croci seconda versione sul cubo 5x5x5 lavorando su facce int/est

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